Dúvida do Rafael Silva

Olá,

Vi seu blog através do google resolvi pedir uma ajuda. Tenho dois problemas, que são como seguem:

1 - Três crianças possuem 3, 7 e 13 anos respectivamente. Quanto tempo levará (em anos) para que suas idades formem uma progressão geométrica?

2 - Três crianças possuem 5,9 e15 anos respectivamente. Quanto tempo levará (em anos) para que suas idades formem uma progressão geométrica?

Por onde começar um problema do tipo? Para a primeira, vi que no gabarito a resposta é cinco anos, mas não sei por onde começar. Ficaria muito agradecido se pudesse me ajudar, ou pelo menos dar uma dica de por onde começar.

PS: Você só precisa escolher um dos dois problemas, é claro. Entendendo um, o outro fica fácil de resolver.

Obrigado e parabéns pela boa vontade em ajudar!

Rafael

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Olá Rafael,

Para conseguirmos resolver estes problemas, precisamos primeiramente entender o que são Progessões Geométricas. Vamos lá.


Definição: Progressão Geométrica (P.G) é a seqüência de números reais não nulos em que o quociente entre um termo qualquer (a partir do 2º) e o termo antecedente é sempre o mesmo (constante).

Essa constante é chamada de razão, representada pela letra q.

Exemplos:

• (2, 6, 18, 54,...) é uma P.G de razão q = 3

• (1, 2, 4, 8, 16, ...) é uma P.G. de razão q = 2

• (5, 7.5, 11.25, ...) é uma P. G. de razão q = 1.5
  

• (-5, 15, -45, 135,...) é uma P.G de razão q = -3

Só precisamos enteder estes conceitos para fazer os exercícios. Caso queira ler mais sobre o assunto, clique aqui.


Vamos à resolução.

 
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O problema nº 1 nos fornece os seguintes números:

(3, 7, 13)

Para que estes números formem uma P.G., o quociente entre um termo qualquer (a partir do 2º) e o termo antecedente (a razão q) deve ser constante. Veja o que acontece quando tentamos fazer isso com os números acima:

q = 7/3 = 2,3333...

q = 13/7 = 1,85747...

Como os quocientes não são iguais, estes três números não formam uma P.G.


O que temos que fazer neste exercício é encontrar um valor n, tal que somado a cada um dos termos, transforme a sequência em uma P.G.

Sendo assim, podemos fazer as seguintes igualdades:

$(3 + n)*q = (7 + n)$

Isolando q: $q = \frac{(7 + n)}{(3 + n)}$ (1)

$(7 + n)*q = (13 + n)$

Isolando q: $q = \frac{(13 + n)}{(7+ n)}$ (2)

Substituindo (1) em (2), conseguimos uma equação com só uma incógnita, n, que é o que queremos.

$q = \frac{(13 + n)}{(7 + n)}$ (2)

$\frac{(7+n)}{(3 + n)} = \frac{(13 + n)}{(7 + n)}$

$49 + 14n + n^2 = 39 + 13n + 3n + n^2$

$49 + 14n = 39 + 16n$

$2n = 10$

$n = 5$

Para comprovar nosso resultado, vamos refazer aquele teste, agora somando 5 a cada termo. Assim:

[(3 + 5), (7 + 5), (13 + 5)]

(8, 12, 18)

q = 12/8 = 1,5

q = 18/12 = 1,5

Como agora conseguimos uma razão constante, então podemos chamar a sequência (8, 12, 18) de Progressão Geométrica.


Qualquer dúvida deixe seu comentário aí.

Um abraço!




Marcelo Flora
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